Question

已知函數R，且
（I）若能表示成一個奇函數和一個偶函數的和，求的解析式；
（II）命題P：函數在區(qū)間上是增函數；
命題Q：函數是減函數。
如果命題P、Q有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，比較的大小。

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：
（1）將表示成奇函數和一個偶函數的和，分別求，所用知識僅為函數的奇偶性，但是函數將三個函數，的奇偶性綜合考察，出題者別具匠心，與以往單純考察單個函數的奇偶性有較大區(qū)別。（2）函數在區(qū)間上是增函數，只需要二次函數對稱軸≤即可，為一次函數，單調性只和系數相關，解答滿足和的參數范圍，然后按照真、假和假、真求a的并集即可。（3）將帶入，看似與無關，但結合第二步結果，將a的值換成發(fā)現(xiàn)左右恰好相等，可以考慮右邊定值，左邊是函數在臨界情況下的結果，研究左邊表達式在情況下的值域問題就可解決。
解答過程：（1）
 
解得……………………………………………4分
（2）在區(qū)間上是增函數，
解得
又由函數是減函數，得
∴命題P為真的條件是：
命題Q為真的條件是：
又∵命題P、Q有且僅有一個是真命題，…………………………………8分
（2）由（1）得

設函數
∴函數在區(qū)間上為增函數
又………………12分
考點：本題考查了函數奇偶性，含參二次函數和一次函數單調性，利用函數的導數求函數單調性以及邏輯問題。
點評：本題綜合程度較高，考察內容靈活多變，除了第二步為常規(guī)思路解答。第一和第三步都值得認真去研究它的方法和解題思路，本題作為壓軸題計算量不是很大，重要還是從本題中體現(xiàn)的方法值得深究。