Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，M，N是對(duì)角線AC₁上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面上且滿足|PM|=|PN|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度的最大值為

1. A.
   3
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   6

Answer 1

B
分析：根據(jù)滿足PM=PN這個(gè)條件可以看出點(diǎn)P是在垂直于AC₁且過(guò)線段MN中點(diǎn)的一個(gè)平面a上的，而題目中又說(shuō)P在正方體表面上，所以P點(diǎn)的軌跡便是平面a與正方體各表面的交線所組成的一個(gè)由折線段構(gòu)成的軌跡．假象有一個(gè)平面從A點(diǎn)開(kāi)始切割（該平面垂直AC₁），開(kāi)始得到的圖形是三角形，且三角形的周長(zhǎng)慢慢變長(zhǎng)，直到切割到A₁點(diǎn)，利用運(yùn)動(dòng)變化的思想研究整個(gè)過(guò)程可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度的最大值．
解答：解：滿足PM=PN這個(gè)條件可以看出點(diǎn)P是在垂直于AC₁且過(guò)線段MN中點(diǎn)的一個(gè)平面a上的，又說(shuō)P在正方體表面上，
∴P點(diǎn)的軌跡便是平面a與正方體各表面的交線所組成的一個(gè)由折線段構(gòu)成的軌跡．
也就是垂直于正方體體對(duì)角線的平面與正方體表面相交的交線構(gòu)成的哪個(gè)圖形的周長(zhǎng)最大．
假象有一個(gè)平面從A點(diǎn)開(kāi)始切割（該平面垂直AC₁），開(kāi)始得到的圖形是三角形，且三角形的周長(zhǎng)慢慢變長(zhǎng)，直到切割到A₁點(diǎn)，
這個(gè)切割圖形為三角形A₁BD，此時(shí)是當(dāng)切割圖形是三角形時(shí)的周長(zhǎng)最大值，為3．
之后的切割圖形變?yōu)榱�邊形，�?jīng)計(jì)算得出當(dāng)切割圖形為六邊形時(shí)圖形的周長(zhǎng)恒定還是為3，
之后切割圖形又為三角形，周長(zhǎng)開(kāi)始從3遞減趨向于零，
直至切割到C₁點(diǎn)切割結(jié)束．
根據(jù)整個(gè)過(guò)程來(lái)說(shuō)可以得出P點(diǎn)的最大長(zhǎng)度為3．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，考查學(xué)生的分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是確定滿足|PM|=|PN|的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡．