Question

已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，CD=3，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，且EF⊥AB，EF=2，現(xiàn)將梯形沿著EF翻折，使得平面BCFE⊥平面AEFD，連接BD、BA和CD，如圖所示．

（1）求三棱錐E-ABD的體積；
（2）在BD上是否存在一點(diǎn)P，使得CP∥平面AEFD？如果存在，求DP的長；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由V_E-ABD=V_B-ADE，利用等積法能求出三棱錐E-ABD的體積．
（2）當(dāng)P為BD上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)時(shí)，CP∥平面AEFD．連結(jié)DE，在DE上取靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，F(xiàn)Q，
則PQ∥CF，且PQ=CF，四邊形PCFQ為平行四邊形，由此能求出DP的長．

解答： 解：（1）由題意得平面BCFE⊥平面AEFD，且平面BCFE∩平面AEFD=FE，
又BE⊥FE，∴BE⊥平面AEFD，
在梯形ABCD中，
由于AB∥CD，AB=6，CD=3，E為AB的中點(diǎn)，
F為CD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，且EF⊥AB，EF=2，
∴AE=3，DE=

5

，AD=2

2

，
由余弦定理，得cos∠ADE=

5+8-9

2×2 2 × 5

=

10

10

，
則sin∠ADE=

3 10

10

，
∴△ADE面積S=

1

2

×DE×AD×sin∠ADE=

1

2

×

5

×2

2

×

3 10

10

=3，
∴三棱錐E-ABD的體積V_E-ABD=V_B-ADE=

1

3

×3×3=3．
（2）當(dāng)P為BD上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)時(shí)，CP∥平面AEFD．
證明如下：
連結(jié)DE，在DE上取靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，F(xiàn)Q，
則PQ∥CF，且PQ=CF，
∴四邊形PCFQ為平行四邊形，∴CP∥FQ，
∵CP不包含于平面AEFD，F(xiàn)Q?平面AEFD，
∴CP∥平面AEFD，
由（1）知BE⊥平面AEFD，
在Rt△BED中，BD²=BE²+DE²=BE²+EF²+DF²=9+4+1=14，
∴BD=

14

，DP=

2

3

BD=

2 14

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐體積的求法，求滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思想能力的培養(yǎng)．