Question

已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足：a7=a6+2a5，若

am•an

=2a1，則

1

m

+

9

n

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：由已知中正項等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，我們易求出數(shù)列的公比，再結(jié)合存在兩項a_m、a_n使得

aman

=2a1，我們可以求出正整數(shù)m，n的和，再結(jié)合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
∵a₇=a₆+2a₅，則a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）
若

aman

=2a1，即 a1

2m+n-2

=2a1，
則m+n=4，
則4（

1

m

+

9

n

）=（m+n）（

1

m

+

9

n

）=10+（

n

m

+

9m

n

）≥10+6=16
則

1

m

+

9

n

≥4，
當(dāng)

n

m

=

9m

n

時，即m=1，n=3時，等號成立，即最小值為4
故答案為 4

點評：此題主要考查基本不等式的應(yīng)用問題，其中涉及到等比數(shù)列通項的問題，屬于綜合性試題，考查學(xué)生的靈活應(yīng)用能力，屬于中檔題目．