Question

已知函數(shù)f（x）=x+alnx
（I）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）若函數(shù)f（x）沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求出f（1）的值，求出f′（1）的值，然后直接代入直線方程的點斜式得切線方程；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

x+a

x

(x＞0)，當(dāng)a≥0時，在定義域內(nèi)恒有f'（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＜0時，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，判出在各區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號，由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）求出的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分a≥0和a＜0討論，當(dāng)a＜0時求出原函數(shù)的最小值，由最小值大于0求解實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）當(dāng)a=1時，f（x）=x+lnx，f′(x)=1+

1

x

(x＞0)，
∴f（1）=1，f'（1）=2，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為2x-y-1=0；
（II）函數(shù)f（x）=x+alnx，f′(x)=

x+a

x

(x＞0)．
當(dāng)a≥0時，在x∈（0，+∞）時f'（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）與f'（x）在定義域上的情況如下：

∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，-a），單調(diào)增區(qū)間為（-a，+∞）．
∴當(dāng)a≥0時f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，-a），單調(diào)增區(qū)間為（-a，+∞）．
（III）由（II）可知，
①當(dāng)a＞0時，（0，+∞）是函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，
且有f(e-

1

a

)=e-

1

a

-1＜1-1=0，f（1）=1＞0，
此時函數(shù)有零點，不符合題意；
②當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=x，在定義域（0，+∞）上沒零點；
③當(dāng)a＜0時，f（-a）是函數(shù)f（x）的極小值，也是函數(shù)f（x）的最小值，
∴當(dāng)f（-a）=a（ln（-a）-1）＞0，即a＞-e時，函數(shù)f（x）沒有零點．
綜上所述，當(dāng)-e＜a≤0時，f（x）沒有零點．

點評：本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法．該類問題在高考試卷中常以壓軸題的形式出現(xiàn)．