Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)(n，

Sn

n

) (n∈N*)均在直線y=x+

1

2

上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=3an+

1

2

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，試求T_n．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)(n，

Sn

n

) (n∈N*)均在直線y=x+

1

2

上，代入可得S_n的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)a_n與S_n的關(guān)系（n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，n=1，a_n=S_n），得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）中數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式結(jié)合bn=3an+

1

2

，求出數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)和公式，代入等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得答案．

解答：解：（1）依題意得，

Sn

n

=n+

1

2

，即Sn=n2+

1

2

n．…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2+

1

2

n)-[(n-1)2+

1

2

(n-1)]=2n-

1

2

；   …（5分）
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=12+

1

2

×1=

3

2

=2×1-

1

2

．…（6分）
所以an=2n-

1

2

 (n∈N*)．…（7分）
（2）由（1）得bn=3an+

1

2

=32n，…（8分）
由

bn+1

bn

=

32(n+1)

32n

=32=9，可知{b_n}為等比數(shù)列．…（10分）
由b1=32×1=9，…（11分）
故Tn=

9(1-9n)

1-9

=

9n+1-9

8

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列求和，數(shù)列的函數(shù)特性，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，熟練掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，a_n與S_n的關(guān)系（n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，n=1，a_n=S_n），是解答的關(guān)鍵．