Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．已知f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+

1

2a2+1

對(duì)稱，求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）轉(zhuǎn)化為直接解方程x²-x-3=x即可．
（2）轉(zhuǎn)化為ax²+bx+b-1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為b²-4a（b-1）＞0恒成立，再利用二次函數(shù)大于0恒成立須滿足的條件來(lái)求解即可．
（3）利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)結(jié)論，一是中點(diǎn)在已知直線上，二是兩點(diǎn)連線和已知直線垂直．找到a，b之間的關(guān)系式，整理后在利用基本不等式求解可得．

解答：解：（1）∵a=1，b=-2時(shí)，f（x）=x²-x-3，
f（x）=x?x²-2x-3=0?x=-1，x=3
∴函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)為-1和3；

（2）即f（x）=ax²+（b+1）x+b-1=x有兩個(gè)不等實(shí)根，
轉(zhuǎn)化為ax²+bx+b-1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，須有判別式大于0恒成立
即b²-4a（b-1）＞0?△=（-4a）²-4×4a＜0?0＜a＜1，
∴a的取值范圍為0＜a＜1；

（3）設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），則x₁+x₂=-

b

a

，
A，B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為  （

x1+x2

2

，

x1 +x2

2

），即M（-

b

2a

，-

b

2a

）
∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+

1

2a2+1

對(duì)稱，
又因?yàn)锳，B在直線y=x上，
∴k=-1，A，B的中點(diǎn)M在直線y=kx+

1

2a2+1

上．
∴-

b

2a

=

b

2a

+

1

2a2+1

?b=-

a

2a2+ 1

=-

1

2a+ 1 a

利用基本不等式可得
當(dāng)且僅當(dāng)a=

2

2

時(shí)，b的最小值為-

1

2 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是在新定義下對(duì)函數(shù)知識(shí)的綜合考查，是一道好題．關(guān)于兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問(wèn)題，有兩個(gè)結(jié)論同時(shí)存在，一是中點(diǎn)在已知直線上，二是兩點(diǎn)連線和已知直線垂直．