Question

已知橢圓的離心率等于，且經(jīng)過點(diǎn)（1，），
（1）求橢圓C的方程；
（2）若經(jīng)過點(diǎn)（-1，）的直線l與橢圓C交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）關(guān)系的點(diǎn)M也在橢圓C上，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率等于，且經(jīng)過點(diǎn)（1，），建立方程，求得幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量知識(shí)，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意知，，解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程，
消去y可得（1+4k²）x²+（8k²+4k）x+4k²+4k-3=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
設(shè)M（x，y），則∵
∴（x，y）=（，）
∵M(jìn)在橢圓上，∴
∴
∴x₁x₂+4y₁y₂=0
∵x₁x₂=，∴y₁y₂=
∴+4×=0
∴k=
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，不滿足條件
∴直線l的方程為x-2y+2=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)，聯(lián)立方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．