Question

若橢圓的中心為原點，焦點在x軸上，點P是橢圓上的一點，P在x軸上的射影恰為橢圓的左焦點，P與中心O的連線平行于右頂點與上頂點的連線，且左焦點與左頂點的距離等于

10

-

5

，試求橢圓的離心率及其方程．

Answer 1

分析：求橢圓的離心率，即求

c

a

，只需求a、c的值或a、c用同一個量表示．只需把a、c用同一量表示，由PF₁⊥F₁A，PO∥AB易得b=c，a=

2

b．最后結(jié)合條件：“左焦點與左頂點的距離等于

10

-

5

“，即可求出橢圓的其方程．

解答：解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-c，0），c²=a²-b²，
則P（-c，b

1- c2 a2

），即P（-c，

b2

a

）．
∵AB∥PO，∴k_AB=k_OP，
即-

b

a

=

-b2

ac

．∴b=c．
又∵a=

b2+c2

=

2

b，
∴e=

c

a

=

b

2 b

=

2

2

．
又∵a-c=

10

-

5

，解得a=

10

，c=

5

，∴b=

5

，
∴所求的橢圓方程為：

x 2

10

+

y 2

5

=1．

點評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)．要充分理解橢圓性質(zhì)中的長軸、短軸、焦距、準線方程等概念及其關(guān)系．