Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，，n∈N*，記。
(I)求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
(Ⅱ)若a_n≤t·4ⁿ對任意n∈N*恒成立，求t的取值范圍；
(Ⅲ)記，求證：C₁·C₂·…· C_n＞。

Answer 1

（Ⅰ）證明：由，得
，      ①
，   ②
∴，即，且，
∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，
∴，
由得，
易知是關(guān)于n的減函數(shù)，
∴，解得：。
（Ⅲ）解：由，得，
∴，
∴，
下面用數(shù)學歸納法證明不等式：
若為正數(shù)，則（*）
1^o當n=2時，∵，
∴；
2^o假設(shè)當n=k(k≥2)時，不等式成立，即若x₁，x₂，……，x_k為正數(shù)，
則，
那么，
這就是說當n=k+1時不等式成立。
根據(jù)不等式（*）得：
，
∴。