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設函數f（x）=x2-aln（x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）若f'（1）=0，求a的值；
（Ⅱ）當a＜0時，討論函數f（x）在其定義域上的單調性；
（Ⅲ）證明：對任意的正整數n，不等式ln(n+1)＞
n
k=1
(
1
k2
-
1
k3
)都成立．
分析：（Ⅰ）求導函數，利用f'（1）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）求導函數，利用導數的正負，即可求得函數的單調區(qū)間；
（Ⅲ）令g（x）=x2-ln（x+1）-x3（0＜x≤1），證明ln（x+1）＞x2-x3，令x=
1
n
，可得ln(1+
1
n
)＞
1
n2
-
1
n3
，即ln(n+1)-lnn＞
1
n2
-
1
n3
，利用疊加法即可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：求導函數，可得f′(x)=2x-
a
x+1

∵f′（1）=0，∴2-
a
2
=0，∴a=4；
（Ⅱ）解：當a＜0時，令f′（x）＜0可得-1＜x＜
-1+
1-2a
2
，令f′（x）＞0可得x＞
-1+
1-2a
2
，
∴當a＜0時，函數的單調減區(qū)間是（-1，
-1+
1-2a
2
），單調增區(qū)間是（
-1+
1-2a
2
，+∞）；
（Ⅲ）證明：令g（x）=x2-ln（x+1）-x3（0＜x≤1），
則g′（x）=
-3x3-(x-1)2
x+1
，當0＜x≤1時，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上為減函數，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴x2-ln（x+1）-x3＜0
∴l(xiāng)n（x+1）＞x2-x3，
令x=
1
n
，則ln(1+
1
n
)＞
1
n2
-
1
n3
，∴ln(n+1)-lnn＞
1
n2
-
1
n3

∴
n
k=1
(
1
k2
-
1
k3
)＜ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1）
∴不等式ln(n+1)＞
n
k=1
(
1
k2
-
1
k3
)都成立．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查構造法的運用，考查疊加法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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．

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1x+1
）．
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（2）當m=2時，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有兩個不同的實數解，求實數a的取值范圍；
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（2）若f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍；
（3）求證：不等式ln
n+1
n
＞
n-1
n3
（n∈N*）恒成立．

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