Question

已知橢圓4x²+y²=1及直線l：y=x+m．
（Ⅰ）當(dāng)m為何值時，直線l與橢圓有公共點？
（Ⅱ）若直線l被橢圓截得的線段長為，求直線的方程．
（Ⅲ）若直線l與橢圓相交于A、B兩點，是否存在m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)對應(yīng)方程的判別式大于等于0即可求出m的取值范圍；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出兩交點坐標(biāo)和直線的斜率之間的關(guān)系；再結(jié)合弦長公式即可求出直線的方程．
（Ⅲ）先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出A、B兩點坐標(biāo)和直線的斜率之間的關(guān)系；結(jié)合的對應(yīng)結(jié)論即可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）把直線y=x+m代入4x²+y²=1得
5x²+2mx+m²-1=0     ①…（1分）
∴△=4m²-20（m²-1）=-16m²+20≥0
-≤m≤…（2分）
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由①得，…（3分）
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=…（4分）
∴=…（5分）
解得m=±…（6分）
∴所求直線方程為y=x±．                                   …（7分）
（Ⅲ）設(shè)直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
由①得
若存在m的值，使得，則有x₁x₂+y₁y₂=0…（8分）…（9分）
∴，解得                                     …（10分）
又由（1）直線和橢圓有公共點，需滿足-≤m≤…（11分）
∵＜
∴存在滿足題意                                       …（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．解決問題的關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，弦長公式進(jìn)行求解．