Question

設(shè)Q是直線y=-1上的一個(gè)動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過Q作x軸的垂線l，過O作直線OQ的垂線交直線l于P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）過點(diǎn)A（-2，4）作圓B：x²+（y-2）²=1的兩條切線交曲線C于M、N兩點(diǎn)，試判斷直線MN與圓B的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），則Q（x，-1），由OP⊥OQ得

y

x

•

-1

x

=-1，由此能得到P點(diǎn)的軌跡C的方程．
（2）設(shè)過點(diǎn)A（-2，4）的直線為y=k（x+2）+4，把直線方程y=k（x+2）+4代入拋物線方程y=x²得x²-kx-2k-4=0
可得另一個(gè)根為x'=k+2，由相切知3k²+8k+3=0．由根與系數(shù)的關(guān)系能導(dǎo)出直線MN的方程為4x-3y+1=0，由此知直線MN與圓B相切．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），
則Q（x，-1），
由OP⊥OQ，得

y

x

•

-1

x

=-1，
由此能得到P點(diǎn)的軌跡C的方程為x²=y．
（2）：設(shè)過點(diǎn)A（-2，4）的直線為y=k（x+2）+4，
把直線方程y=k（x+2）+4代入拋物線方程y=x²．
得x²-kx-2k-4=0，
可得另一個(gè)根為x'=k+2，
由相切知3k²+8k+3=0．
設(shè)k₁，k₂是方程的兩個(gè)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系能導(dǎo)出直線MN的方程為4x-3y+1=0，
由此知直線MN與圓B相切．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．