Question

2．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在區(qū)間[-2，2]上的最大值、最小值分別是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，記g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=x的解為x=1，x=2和f（0）=2列方程解出a，b，c得出f（x）的解析式，判斷f（x）的單調(diào)性計(jì)算最值；
（2）根據(jù)f（x）=x只有一解x=1得出a，b，c的關(guān)系，根據(jù)a的范圍判斷f（x）的對(duì)稱軸得出f（x）的單調(diào)性，從而求出g（a）的解析式，利用g（a）的單調(diào)性求出最小值．

解答 （1）∵f（0）=2，∴c=2，
∵A={1，2}，故1，2是方程ax²+bx+2=x的兩實(shí)根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+2=1}\\{4a+2b+2=2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2．
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-2，2]，
當(dāng)x=1時(shí)，m=f（1）=1，
當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）_max=f（-2）=10，即M=10．
（2）∵A={1}，∴ax²+（b-1）x+c=0有唯一解x=1．
∵a≥1，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-b}{a}=2}\\{\frac{c}{a}=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=1-2a}\\{c=a}\end{array}\right.$．
∴f（x）=ax²+（1-2a）x+a，
∴f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{2a-1}{2a}$=1-$\frac{1}{2a}$，
∵a≥1，∴$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2a}$＜1，
∴M=f（-2）=9a-2，m=f（1-$\frac{1}{2a}$）=1-$\frac{1}{4a}$，
∴g（a）=M+m=9a-1-$\frac{1}{4a}$，
∵g（a）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g_min（a）=g（1）=$\frac{31}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性判斷，二次函數(shù)的最值計(jì)算，屬于中檔題．