Question

（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，底面ABCD，，.

（1）求證：；

（2）點E在棱PC上，滿足，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、二面角、向量法等基礎(chǔ)知識，同時考查分析問題解決問題的能力、推理論證能力、運算求解能力. 第一問，利用線面垂直“PA⊥底面ABCD”的性質(zhì)可得PA⊥CD，而PC⊥CD，則利用線面垂直的判定可得CD⊥平面PAC，所以CD垂直于面PAC內(nèi)的線；第二問，根據(jù)已知條件得到AB、AC、AP兩兩垂直，建立空間直角坐標系，寫出相應點和相應向量的坐標，利用夾角的余弦公式解出，再求的值.

試題解析：（Ⅰ）證明：

因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，

因為∠PCD＝90，所以PC⊥CD，

所以CD⊥平面PAC，

所以CD⊥AC． 4分

（Ⅱ）

因為底面ABCD是平行四邊形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP兩兩垂直．

如圖所示，以點A為原點，以為x軸正方向，以為單位長度，建立空間直角坐標系．

則B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)．

設(shè)，則，

又∠DAE＝60°，則，

即，解得． 8分

則，，

所以.

因為，所以．又，

故二面角B-AE-D的余弦值為． 12分

考點：線線垂直、線面垂直、二面角、向量法.