Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，，BC=6
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P-BD-A的大�。�

Answer 1

【答案】分析：解法一：（I）由已知中底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=90°，且PA⊥平面ABCD，我們結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及勾股定理，可以得到BD與平面PAC中兩個(gè)相交直線PA，AC均垂直，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）連接PE，可得∠AEP為二面角P-BD-A的平面角，解三角形AEP即可得到二面角P-BD-A的大小．
解法二：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零，判斷出BD⊥AP，BD⊥AC，再由線面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）分別求出平面PBD與平面ABD的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角P-BD-A的大�。�
解答：解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．∴BD⊥PA．
又，．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC．
…．．（6分）

（Ⅱ）連接PE．∵BD⊥平面PAC．∴BD⊥PE，BD⊥AE．∴∠AEP為二面角P-BD-A的平面角．
在Rt△AEB中，，
∴，∴∠AEP=60°，∴二面角P-BD-A的大小為60°．            …．．（12分）
解法二：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，3），
∴，，，∴．
∴BD⊥AP，BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．

（Ⅱ）設(shè)平面ABD的法向量為m=（0，0，1），
設(shè)平面PBD的法向量為n=（x，y，1），
則n，n∴解得∴．
∴cos＜m，n＞==．∴二面角P-BD-A的大小為60°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間中直線與平面垂直的判定定理，（II）的關(guān)鍵法一是得到∠AEP為二面角P-BD-A的平面角，法二是求出平面PBD與平面ABD的一個(gè)法向量．