Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|

PF1

|=

3

|

PF2

|，則該雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：取PF₂的中點(diǎn)A，由(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，可得

OA

⊥

F2P

，由OA是△PF₁F₂的中位線，得到PF₁⊥PF₂，由雙曲線的定義求出|PF₁|和|PF₂|的值，進(jìn)而在△PF₁F₂中，由勾股定理可得結(jié)論．

解答：解：取PF₂的中點(diǎn)A，則
∵(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，
∴2

OA

•

F2P

=0，
∴

OA

⊥

F2P

，
∵OA是△PF₁F₂的中位線，
∴PF₁⊥PF₂，OA=

1

2

PF₁．
由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=

3

|PF₂|，
∴|PF₂|=

2a

3 -1

，|PF₁|=

2 3 a

3 -1

．
△PF₁F₂中，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
∴（

2a

3 -1

）²+（

2 3 a

3 -1

）²=4c²，
∴e=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷△PF₁F₂是直角三角形，是解題的關(guān)鍵．