Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

 （n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

+

1

2

}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項a_n
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=（3ⁿ-1）

n

2n

a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）把題目給出的數(shù)列遞推式取倒數(shù)，即可證明數(shù)列{

1

an

+

1

2

}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求得

1

an

+

1

2

，則數(shù)列{a_n}的通項a_n的通項可求；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項a_n代入b_n=（3ⁿ-1）

n

2n

a_n，由錯位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，作差后得到T_n為遞增數(shù)列．然后對n分類求得滿足不等式（-1）ⁿλ＜T_n的實數(shù)λ的范圍，則答案可求．

解答： （1）證明：由a_n+1=

an

an+3

 （n∈N^*），
得

1

an+1

=

an+3

an

=

3

an

+1，
∴

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)．
∴數(shù)列{

1

an

+

1

2

}是以3為公比以(

1

a1

+

1

2

)=

3

2

為首項的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知，bn=(3n-1)•

n

2n

2

3n-1

=n•(

1

2

)n-1，
Tn=1×1+2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n，
兩式相減得，

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．
∵Tn+1-Tn=(4-

n+3

2n

)-(4-

n+2

2n-1

)=

n+1

2n

＞0，
∴T_n為遞增數(shù)列．
①當(dāng)n為正奇數(shù)時，-λ＜T_n對一切正奇數(shù)成立，
∵(Tn)min=T1=1=T₁=1，∴-λ＜1，∴λ＞-1；
②當(dāng)n為正偶數(shù)時，λ＜T_n對一切正偶數(shù)成立，
∵(Tn)min=T2=2=T₂=2，∴λ＜2．
綜合①②知，-1＜λ＜2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查了利用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法求解數(shù)列不等式，是中檔題．