Question

設(shè)集合X是實數(shù)集R上的子集，如果x₀∈R滿足：對?a＞0，都?x∈X，使得0＜|x-x₀|＜a，那么稱x₀為集合X的聚點，用Z表示整數(shù)集，則給出下列集合：其中以0為聚點的集合的序號有

 

（寫出所有正確集合的序號）
①{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}；
②R/{0}（R中除去元素0）；
③{

1

n

|n∈Z，n≠0}；
④整數(shù)集Z．

Answer 1

分析：由題中關(guān)于集合聚點的定義，逐個分析①②③④中元素的性質(zhì)，判斷是否滿足集合聚點的定義，從而得到答案．

解答：解：①中，集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}中的元素是極限為1的數(shù)列，
除了第一項0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

時，不存在滿足0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}的聚點；
②中R/{0}（R中除去元素0）等價于{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=

a

2

（任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a，
∴0是{x|x∈R，x≠0}的聚點，即是R/{0}（R中除去元素0）的聚點；
③集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}中的元素是極限為0的數(shù)列，
對于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

a

2

＜a，
∴0是集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}的聚點；
④對于某個a＜1，比如a=

1

2

，對任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是整數(shù)集Z的聚點；
故答案為：②③．

點評：本題考查了集合與元素的問題，解題時應(yīng)正確理解新定義中集合的聚點的含義是什么，是易錯題．