【題目】已知是橢圓的左、右焦點,為坐標原點,點在橢圓上,線段與軸的交點滿足.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)圓是以為直徑的圓,一直線與圓相切,并與橢圓交于不同的兩點、,當,且滿足時,求的面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)先利用平面向量共線得到是線段的中點,再利用三角形的中位線和待定系數(shù)法進行求解;(Ⅱ)先利用直線與圓相切得到,再聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關于的一元二次方程,再利用平面向量的數(shù)量積和判別式為正、三角形的面積公式得到有關表達式,再利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解.
試題解析:(Ⅰ)因為,所以 是線段的中點,所以是的中位線,又所以,所以,又因為 ,
解得,所以橢圓的標準方程為.
(Ⅱ)因為直線與相切,所以,即
聯(lián)立得.
設
因為直線與橢圓交于不同的兩點、,
所以,
,
,又因為,所以
解得.
,
設,則單調(diào)遞增,
所以,即
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若在點處的切線與直線垂直,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)若對于,恒成立,求正實數(shù)的取值范圍;
(3)設函數(shù),且函數(shù)有極大值點,求證:.
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【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(為自然對數(shù)的底數(shù)),時,若方程有兩個不等實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,已知橢圓的左頂點,且點在橢圓上, 分別是橢圓的左、右焦點。過點作斜率為的直線交橢圓于另一點,直線交橢圓于點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若為等腰三角形,求點的坐標;
(3)若,求的值.
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【題目】已知函數(shù),其中,.
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當且時.
①若有兩個極值點,(),求證:;
②若對任意的,都有成立,求正實數(shù)t的最大值.
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【題目】如圖1,在矩形中,,,為的中點,為中點.將沿折起到,使得平面平面(如圖2).
(1)求證:;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在線段上是否存在點,使得平面? 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】一幅標準的三角板如圖1中,為直角,,為直角,,且,把與拼齊使兩塊三角板不共面,連結(jié)如圖2.
(1)若是的中點,是的中點,求證:平面;
(2)在《九章算術》中,稱四個面都是直角三角形的三棱錐為“鱉臑”,若圖2中,三棱錐的體積為2,則圖2是否為鱉臑?說明理由.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)求過點的的切線方程;
(2)當時,求函數(shù)在的最大值;
(3)證明:當時,不等式對任意均成立(其中為自然對數(shù)的底數(shù), ).
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【題目】如圖,某景區(qū)是一個以為圓心,半徑為的圓形區(qū)域,道路,成角,且均和景區(qū)邊界相切,現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道,點,分別在和上,修建的木棧道與道路,圍成的三角地塊.
(1)求修建的木棧道與道路,圍成的三角地塊面積的最小值;
(2)若景區(qū)中心與木棧道段連線的.
①將木棧道的長度表示為的函數(shù),并指定定義域;
②求出木棧道的長度最小值.
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