橢圓的中心是原點(diǎn)O,它的短軸長為,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)(c>0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A,|OF|=2|FA|,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若,求直線PQ的方程;
(3)設(shè)(λ>1),過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M,證明
【答案】分析:(1)由題意,可設(shè)橢圓的方程為,列出關(guān)于a,b的方程組,解出a,b值,從而求得橢圓的方程及離心率;(2)由(1)可得A(3,0).設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3).將直線的方程代入橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直條件即可求得k值,從而解決問題.
(2)先得出向量的坐標(biāo).由已知得方程組解得x2,最后經(jīng)計算得出即可.
解答:(1)解:由題意,可設(shè)橢圓的方程為
由已知得
解得
所以橢圓的方程為,離心率
(2)解:由(1)可得A(3,0).
設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3).由方程組
得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0
依題意△=12(2-3k2)>0,得
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則,①
.②
由直線PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].③
,∴x1x2+y1y2=0.④
由①②③④得5k2=1,從而
所以直線PQ的方程為
(3)證明:
由已知得方程組
注意λ>1,解得
因F(2,0),M(x1,-y1),故=
,所以
點(diǎn)評:本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),直線方程,平面向量的計算,曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓的中心是原點(diǎn)O,它的短軸長為2
2
,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)(c>0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A,|OF|=2|FA|,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若
OP
OQ
=0
,求直線PQ的方程;
(3)設(shè)
AP
AQ
(λ>1),過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M,證明
FM
=-λ
FQ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓的中心是原點(diǎn)O,它的短軸長為2
2
,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)(c>0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A,|OF|=2|FA|,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及離心率;
(2)若
OP
OQ
=0
,求直線PQ的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓的中心是原點(diǎn)O,短軸長為2
3
,左焦點(diǎn)為F(-c,0)(c>0),相應(yīng)的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A,且點(diǎn)F分
AO
的比為3,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若PF⊥QF,求直線PQ的方程;
(Ⅲ)設(shè)
AQ
AP
(λ>1),點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q′,求證:
FQ′
=-λ
FP

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•煙臺二模)已知橢圓的中心是原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,過其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于A.B兩點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)C,使四邊形OACB為平行四邊形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若△OAC的面積為15
5
,求這個橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1 2.2橢圓練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

橢圓的中心是原點(diǎn)O,它的短軸長為,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)()的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A,|OF|=2|FA|,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn) .

(1)求橢圓的方程及離心率;

(2)若,求直線PQ的方程;

(3)設(shè)),過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M,證明.

 

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