Question

如圖，在四面體A−BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．

（Ⅰ）證明：PQ∥平面BCD；

（Ⅱ）若二面角C−BM−D的大小為60°，求ÐBDC的大�。�

Answer 1

【命題意圖】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。

   【答案解析】

（Ⅰ）取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3FC，連接OP，OF，FQ．

因?yàn)?i>AQ=3QC，所以

QF∥AD，且QF=AD

因?yàn)?i>O，P分別為BD，BM的中點(diǎn)，所以OP是△BDM的中位線，所以

OP∥DM，且OP=DM

又點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，所以

OP∥AD，且OP=AD

從而

OP∥FQ，且OP=FQ

所以四邊形OPQF是平行四邊形，故

PQ∥OF

又PQË平面BCD，OFÌ平面BCD，所以

PQ∥平面BCD．

   （Ⅱ）作CG^BD于點(diǎn)G，作GH^BM于點(diǎn)HG，連接CH，則CH^BM，所以ÐCHG為二面角的平面角。設(shè)ÐBDC=θ．

   在Rt△BCD中，

CD=BDcos θ=2cos θ，

CG=CDsin θ=2cos θsin θ，

BG=BCsin θ=2sin²θ

   在Rt△BDM中，

HG==

    在Rt△CHG中，

tanÐCHG=

    所以

tan q=

    從而

q=60°

即ÐBDC=60°．