Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an=

1

2

an-1+1(n≥2)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列；
（3）求a_n，并求{a_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an=

1

2

an-1+1(n≥2)，
∴a2=

1

2

a1+1=

3

2

，a3=

1

2

a2+1=

7

4

，a4=

1

2

a3+1=

15

8

．…（3分）
（2）∵

an-2

an-1-2

=

1 2 an-1-1

an-1-2

=

1 2 (an-1-2)

an-1-2

=

1

2

，
又a₁-2=-1，
∴數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．…（7分）
（注：文字?jǐn)⑹霾蝗��?分）
（3）由（2）得an-2=-1×(

1

2

)n-1，則an=2-(

1

2

)n-1，…（9分）
∴Sn=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]=2n-

1×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2n-2+(

1

2

)n-1．…（12分）