Question

已知函數(shù)f(x)=a-

1

2x-1

，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由分式成立的條件可得，2^x-1≠0，從而可求函數(shù)的定義域
（2）由函數(shù)為奇函數(shù)可得f（-x）+f（x）=0對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立，代入整理可求a
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，通過(guò)做差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性

解答：解：（1）由分式成立的條件可得，2^x-1≠0，
∴x≠0，定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}
（2）函數(shù)為奇函數(shù)可得f（-x）+f（x）=0對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立
∴a-

1

2-x-1

+a-

1

2x-1

=0
∴2a=

1

2x-1

-

2x

2x-1

=-1
∴a=-

1

2

（3）設(shè)任意的x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1

2x2-1

-

1

2x1-1

=

2x1-2x2

(2x2-1)(2x1-1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在定義域上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)分式型函數(shù)的定義域的求解，奇函數(shù)定義的應(yīng)用，及利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)．