已知二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖象過A(t1,y1)、B(t2,y2)兩點,且滿足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.
(1)證明y1=-a或y2=-a;
(2)證明函數f(x)的圖象必與x軸有兩個交點;
(3)若關于x的不等式f(x)>0的解集為{x|x>m或x<n,n<m<0},解關于x的不等式cx2-bx+a>0.
解:(1)證明:∵a
2+(y
1+y
2)a+y
1y
2=0,
∴(a+y
1)(a+y
2)=0,得y
1=-a或y
2=-a.
(2)證明:當a>0時,二次函數f(x)的圖象開口向上,圖象上的點A、B的縱坐標至少有一個為-a且小于零,
∴圖象與x軸有兩個交點.
當a<0時,二次函數f(x)的圖象開口向下,圖象上的點A、B的縱坐標至少有一個為-a且大于零,
∴圖象與x軸有兩個交點.
故二次函數f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點.
(3)∵ax
2+bx+c>0的解集為{x|x>m或x<n,n<m<0}.
根據一元二次不等式大于0取兩邊,從而可判定a>0,
并且可得ax
2+bx+c=0的兩根為m,n,
∴
∴
=
=-
.
而cx
2-bx+a>0?x
2-
x+
>0?x
2+(
)x+
>0?(x+
)(x+
)>0,
又∵n<m<0,∴-
<-
,∴x>-
或x<-
.
故不等式cx
2-bx+a>0的解集為{x|x>-
或x<-
}.
分析:(1)由題知a
2+(y
1+y
2)a+y
1y
2=0解得y
1或y
2即可;
(2)討論a>0,函數為開口向上的拋物線,a<0時函數圖象開口向下,由(2)得圖象上的點A、B的縱坐標大于小于0得到與x軸有兩個交點即可;
(3)根據已知不等式的解集得到a的符號且可得ax
2+bx+c=0的兩根為m,n,然后利用根與系數的關系化簡不等式求出解集即可.
點評:考查學生函數與方程的綜合運用能力,以及一元二次方程根與系數關系的靈活運用,不等式取解集方法的運用能力.