Question

已知在四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，若SA=AB，則直線SB與側(cè)面SCD所成的角為（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AS為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，求出直線SB的一個(gè)方向向量，和側(cè)面SCD的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：解：∵四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，令SA=AB=a，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AS為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系
則A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），S（0，0，a）
故

SB

=（a，0，-a）
設(shè)側(cè)面SCD的法向量為

m

=（x，y，z）
由

DC

=（a，0，0），

SC

=（a，a，-a）得

m • DC =0 m • SC =0

，即

ax=0 ax+ay-az=0

令y=1，可得

m

=（0，1，1）
設(shè)直線SB與側(cè)面SCD所成的角為θ
則sinθ=

| m • SB |

| m |•| SB |

=

a

2 a• 2

=

1

2

故θ=30°
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將直線與平面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．