已知△ABC中，A＜B＜C，a=cosB，b=cosA，c=sinC
（1）求△ABC的外接圓半徑和角C的值；
（2）求a+b+c的取值范圍．
分析：（1）由正弦定理求得外接圓半徑R．再由a=cosB，b=cosA，可得
cosB
sinA
=
cosA
sinB
，化簡(jiǎn)得sin2A=sin2B．
再由A＜B＜C，可得2A+2B=π，由此可得C的值．
（2）由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=
2
sin（A+
π
4
）+1．再由O＜A＜
π
4
，利用正弦函數(shù)的定義域和值域
求得sin（A+
π
4
）+1＜
2
+1的范圍，即可求得a+b+c的取值范圍．
解答：解：（1）由正弦定理
c
sinC
=2R=1，∴R=
1
2
．
再由a=cosB，b=cosA，可得
cosB
sinA
=
cosA
sinB
，故有sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B．
再由A＜B＜C，可得2A+2B=π，∴C=
π
2
．
（2）由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=sinA+cosA+1=
2
sin（A+
π
4
）+1．
再由O＜A＜
π
4
，可得
π
4
＜A+
π
4
＜
π
2
，∴
2
2
＜sin（A+
π
4
）＜1，
∴2＜
2
sin（A+
π
4
）+1＜
2
+1，
即a+b+c的取值范圍為（2，
2
+1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB邊上的高所在的直線方程；
（2）直線l∥AB，與AC，BC依次交于E，F(xiàn)，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，則邊長(zhǎng)c=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)滿足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面積S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求t=sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，對(duì)任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

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