Question

如圖：已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為2的正方形，高AA₁=2

2

，P為CC₁的中點(diǎn)，AC與BD交于O點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面PBD；
（Ⅲ）求三棱錐A₁-BOP的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理，要證BD⊥面A₁ACC₁，只證BD⊥AC，BD⊥AA₁即可；
（Ⅱ）利用三角形的中位線的性質(zhì)證明AC₁∥OP，即可證明AC₁∥平面PBD；
（Ⅲ）證明△A₁OP為等腰三角形，利用V_A1-BOP=

1

3

S_△A1OP•OB求三棱錐A₁-BOP的體積．

解答： （Ⅰ）證明：在長方體AC₁中，∵底面ABCD是邊長為4的正方形，∴對角線BD⊥AC．
又∵A₁A⊥平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
AC∩A₁A=A，AC?面A₁ACC₁，A₁A?面A₁ACC₁；
∴BD⊥面A₁ACC₁．

（Ⅱ）證明：連接PO，則
∵點(diǎn)P是側(cè)棱C₁C的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
∴AC₁∥OP，
∵AC₁?平面PBD，OP?平面PBD，
∴AC₁∥平面PBD；

（Ⅲ）解：∵AA₁=2

2

，AO=

2

，∴A₁O=

10

，
同樣計(jì)算可得A₁P=

10

，∴△A₁OP為等腰三角形，
∵CO=CO=

2

，∴OP=2，
∴等腰三角形A₁OP的高為3，
∴V_A1-BOP=

1

3

S_△A1OP•OB=

2

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)及錐體的體積求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，屬中檔題．