Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）證明：對一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）
當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)單調(diào)遞增 …（2分）
①，即時(shí)，； …（4分）
②，即時(shí)，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt； …（5分）
所以…（6分）
（2）證明：由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到．
設(shè)，則，
∵x∈（0，1）時(shí)，m′（x）＞0，x∈（1，+∞）時(shí)，m′（x）＜0，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到…（10分）
從而對一切x∈（0，+∞），都有成立． …（12分）
分析：（1）求出f′（x），確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合[t，t+2]（t＞0）決定函數(shù)在[t，t+2]（t＞0）上的增減性，然后得到函數(shù)的最小值即可；
（2）分別求出左右兩邊對應(yīng)函數(shù)的最值，根據(jù)最值的關(guān)系即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，其中不等式的證明的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的最值關(guān)系．