Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證SO⊥平面ABC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證SO與平面ABC內(nèi)兩相交直線垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，滿足定理?xiàng)l件；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出兩半平面的法向量，求出兩法向量的夾角即可．
解答：證明：
（Ⅰ）由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，
所以，且AO⊥BC，
又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC，
且，從而OA²+SO²-SA²．
所以△SOA為直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
設(shè)B（1，0，0），則C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC的中點(diǎn)，．∴．
故等于二面角A-SC-B的平面角．
，
所以二面角A-SC-B的余弦值為．
點(diǎn)評：本小題主要考查直線與平面垂直，以及二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．