Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，滿足3Sn=4an-2n+1+2，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求首項(xiàng)a₁
（Ⅱ）令bn=an+2n，求證{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)cn=

2n+1

3Sn

，n=1，2，3，…，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和為T_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）n=1代入，即可求a₁；
（Ⅱ）再寫一式，兩式相減，即可證明{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）寫出數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)n=1時(shí)，3a₁=3S₁=4a₁-4+2，∴a₁=2   …（2分）
（Ⅱ）證明：由3Sn=4an-2n+1+2，n=1，2，3，…  ①
則3Sn-1=4an-1-2n+2，n=2，3，…    ②
將①和②相減得3a_n=3S_n-3S_n-1=4（a_n-a_n-1）-（2ⁿ⁺¹-2ⁿ）
整理得a_n=4a_n-1+2ⁿ，…（4分）
故

bn

bn-1

=

an+2n

an-1+2n-1

=4（n≥2）
因而數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為b₁=a₁+2=4，公比為4的等比數(shù)列 …（6分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知b_n=4ⁿ，
∵bn=an+2n，∴a_n=4ⁿ-2ⁿ，…（7分）
將a_n=4ⁿ-2ⁿ代入①得3Sn=4(4n-2n)-2n+1+2=2（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1）
∴cn=

2n+1

3Sn

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

       …（12分）
∴T_n=

1

21-1

-

1

22-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1 …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．