Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=

2

2

，則下列結(jié)論中錯誤的個數(shù)是（　�。� 
（1）AC⊥BE．
（2）若P為AA₁上的一點，則P到平面BEF的距離為

2

2

．
（3）三棱錐A-BEF的體積為定值．
（4）在空間與DD₁，AC，B₁C₁都相交的直線有無數(shù)條．
（5）過CC₁的中點與直線AC₁所成角為40°并且與平面BEF所成角為50°的直線有2條．

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析：如圖可知BE?平面BB₁D₁D，AC⊥BE，進而判斷出（1）正確；
根據(jù)AA₁∥BB₁，判斷出AA₁∥平面BB₁DD₁，即AA₁∥平面BEF，計算出A₁到平面BEF的距離，即可判斷出（2）項；
設(shè)AC，BD交于點O，AO⊥平面BB₁D₁D，可分別求得S_△BEF和AO，則三棱錐A-BEF的體積可得判斷（3）項正確；
再利用正方體中線線，線面的位置關(guān)系，即可判定（4）和（5）項正確．

解答：解：對于（1），∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BE．故（1）正確．
對于（2），∵AA₁∥BB₁，AA₁?平面BB₁DD₁，BB₁?平面BB₁DD₁，
∴AA₁∥平面BB₁DD₁，即AA₁∥平面BEF，
又∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
A₁到平面BEF的距離為A₁到B₁D₁的距離

2

2

，
∴若P為AA₁上的一點，則P到平面BEF的距離為

2

2

，故（2）正確；
對于（3），∵S_△BEF=

1

2

×

2

2

×1=

2

4

，
設(shè)AC，BD交于點O，AO⊥平面BB₁D₁D，AO=

2

2

，
∴V_A-BEF=

1

3

×

2

4

×

2

2

=

1

12

，故（3）正確；
對于（4）在正方體中，AA₁∥DD₁，AD∥B₁C₁，
則AC，AA₁，AD相交于A點，故空間中與DD₁，AC，B₁C₁都相交的直線有無數(shù)條．
故（4）正確；
對于（5）由于過CC₁的中點與直線AC₁所成角為40°的直線有2條．
并且這兩條直線與平面BEF所成角為50°，故（5）正確；
故答案為：A．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直，考查線面角、線線角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．