Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）設(shè)0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）=x|x-2|=

x2-2x=(x-1)2-1             x≥2 -x2+2x=-(x-1)2+1         x＜2

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1]和[2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是[1，2]．
（2）f（x）＜3，即 x|x-2|＜3，∴

x≤2  x2-2x -3＜0

或

x＜2 x2-2x+3＞0

，
∴2≤x＜3 或 x＜2∴不等式f（x）＜3的解集為{x|2≤x＜3 或 x＜2 }．
（3）  當(dāng)0＜a1 時(shí)，f（x）是[0，a]上的增函數(shù)，此時(shí)f（x）在[0，a]上的
上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
．當(dāng)1＜a≤2 時(shí)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，a]上是減函數(shù)，此時(shí)，
此時(shí)f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．
綜上，當(dāng)0＜a1 時(shí)，此時(shí)f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
當(dāng)1＜a≤2 時(shí)，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1．