Question

已知f(x)=log2

a-2-x

x-a

的是奇函數(shù)．
（I）求a的值；
（II）若關(guān)于x的方程f^-1（x）=m•2^-x有實解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當函數(shù)為奇函數(shù)時，定義域必關(guān)于原點對稱，先帶著a求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)定義域左右端點互為相反數(shù)，求出a的值．
（II）法一：先求出f^-1（x），化簡f^-1（x）=m•2^-x，把m用含x的式子表示，再用均值不等式求最值即可．
法二：同法一，先化簡f^-1（x）=m•2^-x，在看成關(guān)于t的一元二次方程，原方程有實解，等價于關(guān)于t的一元二次方程有正實解，在據(jù)此求出m的范圍．

解答：解：（I）由

a-2-x

x-a

＞0得：a-2＜x＜a
∵f（x）為奇函數(shù)，∴a-2=-a⇒a=1．
經(jīng)驗證可知：a=1時，f（x）是奇函數(shù)，a=1為所求 
（II）∵f(x)=log2

1+x

1-x

，∴f-1(x)=

2x-1

2x+1

．
法一：由f^-1（x）=m•2^-x得：

m= (2x)2-2x 2x+1 = (2x+1)2-3(2x+1)+2 2x+1 =(2x+1)+ 2 2x+1 -3≥2 2 -3. 當且僅當x=log2( 2 -1)時，mmin=2 2 -3

所以m的取值范圍是[2

2

-3，+∞)
法二：原方程即（2^x）²-（m+1）2^x-m=0設(shè)2^x=t，則t²-（m+1）t-m=0
原方程有實解，等價于方程t²-（m+1）t-m=0有正實解 
令g（t）=t²-（m+1）t-m則g(0)＜0或

g(0)=0 m+1 2 ＞0

或

g(0)＞0 △=(m+1)2+4m≥0 m+1 2 ＞0

⇒m＞0或m=0或2

2

-3≤m＜0
所以m的取值范圍是[2

2

-3，+∞)

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，以及一元二次方程根的判斷．