Question

在正三角形△ABC中，E，F(xiàn)，P分別是AB，AC，BC邊上的點(diǎn)，滿足：AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1），將△AEF沿EF折成到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連接A₁B，A₁P（如圖2）
（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B-A₁P-F的余弦值；
（3）求點(diǎn)F到平面A₁BP的距離．

Answer 1

分析：（1）不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，取BE中點(diǎn)D，連接DF．AE：EB=CF：FA=1：2，則AF=AD=2而∠A=60°，故△ADF是正三角形，由此能夠證明A₁E⊥平面BEP．
（2）過(guò)F作FM⊥A₁P與M，連接QM，QF，由題設(shè)條件知△FCP是正三角形，由A₁E⊥平面BEP，知△A₁FP≌△A₁QP，從而∠A₁PF=∠A₁PQ，由此能求出二面角B-A₁P-F的余弦值．
（3）設(shè)E為原點(diǎn)，EB，EF，EA₁所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)F到平面A₁BP的距離．

解答：解：（1）不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3
在圖1中，取BE中點(diǎn)D，連接DF．AE：EB=CF：FA=1：2
∴AF=AD=2而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，
∴EF⊥AD．
在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB為二面角A_1-EF-B的平面角．由
題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A₁E⊥BE，又BE∩EF=E（2）
∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP．
（2）在圖3中，過(guò)F作FM⊥A₁P與M，連接QM，QF，
∵CP=CF=1，∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1．有PQ=

1

2

BP=1
∴PF=PQ①，
∵A₁E⊥平面BEP，EQ=EF=

3

，
∴A₁F=A₁Q，
∴△A₁FP≌△A₁QP從而∠A₁PF=∠A₁PQ②，
由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
從而∠FMQ為二面角B-A₁P-F的平面角．
在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，又∴A1P=

5

．
∵M(jìn)Q⊥A₁P，∴MQ=

A1Q•PQ

A1P

=

2 5

5

∴MF=

2 5

5

，
在△FCQ中，F(xiàn)C=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=

3

，
在△FMQ中，cos∠FMQ=

MF2+MQ2-QF2

2MF•MQ

=-

7

8

．
∴二面角B-A₁P-F的余弦值為-

7

8

．
（3）不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，設(shè)E為原點(diǎn)，EB，EF，EA₁所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
BE=a，A₁E=

2

3

a，PF=FC=PC=

a

3

，EF=

2

3

3

a
∴A₁（0，0，

2

3

a），B（

a

3

，0，0），P（

a

3

，

2

3

3

a，0），F(xiàn)（0，

2

3

3

a，0），
∴

A1B

=（a，0，-

2

3

a），

A1P

=（

a

3

，

2

3

3

a，-

2

3

a），

PF

=（-

a

3

，0，0），
設(shè)平面A₁BP的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

A1B

=0，

n

•

A1P

=0，
∴

3x-2z=0 x+2 3 y-2z=0

，解得

n

=（6，2

3

，9），
∴點(diǎn)F到平面A₁BP的距離d=

| PF • n |

| n |

=

2a

36+12+81

=

2 129

129

a．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計(jì)算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力．