Question

（2012•上高縣模擬）如圖，等腰△ABC的底邊AB=6，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B、D的動點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB．現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積．
（1）證明：CD⊥平面APE；
（2）設(shè)G是AP的中點(diǎn)，試判斷DG與平面PCF的關(guān)系，并證明；
（3）當(dāng)x為何值時，V（x）取得最大值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，即證EF⊥PE，利用EF⊥AB，可得EF⊥平面APE，再推導(dǎo)出CD∥EF，從而得到CD⊥平面APE．
（2）延長CF，AE交于點(diǎn)B，連接PB，由DG∥PB，能夠推導(dǎo)出DG∥平面PCB．
（3）V（x）=

1

3

SACEF•PE=

1

6

(18x-x3)，0＜x＜3，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出當(dāng)x為

6

時，V（x）取得最大值．

解答：解：（1）∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，故EF⊥PE，
∵EF⊥AB．AB∩PE=E，∴EF⊥平面APE．
∵等腰△ABC的底邊AB=6，高CD=3，
∴CD∥EF，∴CD⊥平面APE．…（6分）
（2）DG∥平面PCB，證明如下：
延長CF，AE交于點(diǎn)B，連接PB，
則DG∥PB，
∵DG?平面PCB，PB?平面PCB，
∴DG∥平面PCB．
（3）V（x）=

1

3

SACEF•PE
=

1

3

×(

1

2

×6×3-

1

2

x2)•x
=

1

6

(18x-x3)，0＜x＜3
V(x)′=

1

6

(18-3x2)，令V（x）′=0，解得x=

6

．
∵x∈（0，

6

）時，V（x）是增函數(shù)；x∈（

6

，3）時，V（x）是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=

6

時，V(x)max=

1

6

[18

6

-(

6

)3]=2

6

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面位置關(guān)系的判斷，考查四棱錐P-ACFE的體積最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．