Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2（1+）²an，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）設b_n=，求；
（3）設c_n=，求證．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，，構造等比數(shù)列求通項公式；（2）把（1）求得的結(jié)果代入，采用錯位相減法求和即可；（3）把（1）求得的結(jié)果代入，通過對c_n進行放縮，達到求和的目的，從而證明了不等式．
解答：解：（1）由已知得，，
∴是公比為2的等比數(shù)列，首項a₁=2，
∴=2ⁿ，
∴a_n=n²2ⁿ；
（2）b_n==n2ⁿ，
=1•2+2•2²+3•2³+…+n2ⁿ，
2=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n2ⁿ⁺¹，
∴-=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=-n2ⁿ⁺¹
∴=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；

（3）c_n==，
當n≥2時，=
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=+++…+
＜+++-…+＜．
點評：此題是個難題．考查學生根據(jù)數(shù)列遞推公式求數(shù)列的通項公式并利用錯位相減法求和，以及把不能求和的數(shù)列問題通過放縮的方法達到求和的目的．特別是問題（3）的設問形式，增加了題目的難度，綜合性強．