Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx在（0，1）上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．a(chǎn)≥0

B．a(chǎn)≤-4

C．a(chǎn)≤-4或a≥0

D．-4≤a≤0

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，或f′（x）≤0在（0，1）上恒成立，分別求其最值可得．

解答：解：求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=2x+2+

a

x

（x＞0）．
∵函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)，
∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，或f′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
由2x+2+

a

x

≥0，x∈（0，1），可得a≥（-2x²-2x）_max，x∈（0，1）．
令g（x）=-2x²-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

，則g（x）在（0，1）單調(diào)遞減．
∴g（x）＜g（0）=0．∴a≥0．
由2x+2+

a

x

≤0，x∈（0，1），可得a≥（-2x²-2x）_min，x∈（0，1）．
令g（x）=-2x²-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

，則g（x）在（0，1）單調(diào)遞減．
∴g（x）＞g（1）=-4．∴a≤-4．
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a≤-4或a≥0
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．