Question

（幾何證明選講選做題）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C．
（1）求證：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=3

3

，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）證明FB=FC，即證∠FBC=∠FCB，利用AD平分∠EAC，四邊形AFBC內(nèi)接于圓，可證得；
（2）先計(jì)算得∠ACD=90°，∠DAC=60°，∠D=30°，在Rt△ACB中，求AC的長(zhǎng)，在Rt△ACD中，求AD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；
∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，∴∠DAC=∠FBC； …2′
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC．…5
（2）解：∵AB是圓的直徑，∴∠ACD=90°
∵∠EAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠D=30°…7′
在Rt△ACB中，∵BC=3

3

，∠BAC=60°，∴AC=3
又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，∴AD=6  …10′

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何證明選講，考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．