Question

（2013•豐臺區(qū)一模）已知以原點(diǎn)為對稱中心、F（2，0）為右焦點(diǎn)的橢圓C過P（2，

2

），直線l：y=kx+m（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)Q（0，3）？若存在求出 k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，由給出的橢圓焦點(diǎn)和橢圓過點(diǎn)P（2，

2

），聯(lián)立列出關(guān)于a，b的方程組，求解后則橢圓方程可求；
（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)k，使線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)Q（0，3），由給出的橢圓方程和直線AB方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的方程后有根與系數(shù)關(guān)系寫出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，由AB的中點(diǎn)和Q（0，3）的連線和直線AB垂直得到直線AB的斜率和截距的關(guān)系，代入判別時(shí)候不滿足判別式大于0，說明假設(shè)不成立，得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵c=2，且橢圓過點(diǎn)P（2，

2

），所以

a2-b2=4 4 a2 + 2 b2 =1

，解得a²=8，b²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在斜率為k的直線，其垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)Q（0，3），
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為N（x₀，y₀），
由

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，
則△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，所以8k²-m²+4＞0，
又x1+x2=-

4mk

1+2k2

，∴x0=

x1+x2

2

=-

2mk

1+2k2

，y0=kx0+m=

m

1+2k2

，
∵線段AB的垂直平分線過點(diǎn)Q（0，3），∴k_NQ•k=-1，即

y0-3

x0

•k=-1，∴-m=3+6k²，
代入△＞0整理，得36k⁴+28k²+5＜0，此式顯然不成立．
∴不存在滿足題意的k的值．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題方法，屬中檔題．