點(diǎn)A、B分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P(
3
2
5
2
3
)在橢圓上,又橢圓離心率e=
2
3

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)到直線的距離公式
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(Ⅰ)依題意得
(
3
2
)2
a2
+
(
5
3
2
)2
b2
=1
c
a
=
2
3
a2-b2=c2
,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(-6,0),B(6,0),直線AP的方程為x-
3
y
+6=0,設(shè)點(diǎn)M(m,0),由題意得
|m+6|
2
=|m-6|
,由此能求出當(dāng)x=
9
2
時(shí),d取得最小值.
解答: 解:(Ⅰ)依題意得
(
3
2
)2
a2
+
(
5
3
2
)2
b2
=1
c
a
=
2
3
a2-b2=c2

解得a2=36,b2=20,
∴橢圓C的方程為
x2
36
+
y2
20
=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(-6,0),B(6,0),
∴直線AP的方程為x-
3
y
+6=0,
設(shè)點(diǎn)M(m,0),由題意得
|m+6|
2
=|m-6|

又-6≤m≤6,
∴m=2,∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-
5
9
x2
=
4
9
(x-
9
2
)2+15
,
∴當(dāng)x=
9
2
時(shí),d取得最小值
15
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)=
4-|8x-12|,1≤x≤2
1
2
f(
x
2
),x>2
則下列結(jié)論正確的是( 。
A、函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,4]
B、關(guān)于x的方程f(x)-
1
2n
=0(n∈N*)有2n+4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C、當(dāng)x∈[2n-1,2n](n∈N*)時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的面積為3
D、不存在實(shí)數(shù)x0,使不等式x0f(x0)>6成立

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(2x-1)2+ax2,若不等式f(x)<0的解集中恰有3個(gè)整數(shù)解,則( 。
A、f(1)f(2)<0
B、f(2)f(3)<0
C、f(3)f(4)<0
D、f(4)f(5)<0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=2x的焦點(diǎn),且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),則線段AB的長(zhǎng)是( 。
A、2
3
B、2
C、4
3
D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

角α(0<α<2π)的正、余弦線的長(zhǎng)度相等,且正、余弦符號(hào)相異.那么α的值為( 。
A、
π
4
B、
4
C、
4
D、
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
,
b
,
c
是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中
a
=(1,2)
(1)若|
c
|=2
5
,且
c
a
,求c的坐標(biāo);
(2)若|
b
|=
3
2
,且
a
+2
b
a
-
b
垂直,求
a
b
的夾角θ.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=acos2x-sinxcosx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(
π
8
,
1
2
),其中常數(shù)a∈R.
(Ⅰ)求a的值及函數(shù)f(x)的最小正周期T;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[
π
8
,
4
]時(shí),求函數(shù)f(x)的最值及相應(yīng)的x值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=
2
,AA1=1,點(diǎn)M,N分別為A1B和B1C1的中點(diǎn).證明:MN∥平面A1ACC1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求lg
1
4
-lg25+ln
e
+21+log23的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案