Question

點(diǎn)A、B分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（

3

2

，

5

2

3

）在橢圓上，又橢圓離心率e=

2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）依題意得

( 3 2 )2 a2 + ( 5 3 2 )2 b2 =1 c a = 2 3 a2-b2=c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），B（6，0），直線AP的方程為x-

3

y+6=0，設(shè)點(diǎn)M（m，0），由題意得

|m+6|

2

=|m-6|，由此能求出當(dāng)x=

9

2

時(shí)，d取得最小值．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得

( 3 2 )2 a2 + ( 5 3 2 )2 b2 =1 c a = 2 3 a2-b2=c2

，
解得a²=36，b²=20，
∴橢圓C的方程為

x2

36

+

y2

20

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），B（6，0），
∴直線AP的方程為x-

3

y+6=0，
設(shè)點(diǎn)M（m，0），由題意得

|m+6|

2

=|m-6|，
又-6≤m≤6，
∴m=2，∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-

5

9

x2=

4

9

(x-

9

2

)2+15，
∴當(dāng)x=

9

2

時(shí)，d取得最小值

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．