Question

正四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等，E為PC中點，則直線AC與截面BDE所成的角為    ．

Answer 1

【答案】分析：先建立空間直角坐標系，求出個點坐標，以及向量的坐標，并計算出截面BDE的法向量的坐標，進而求出＜，＞即可得到結(jié)論
法二：直接利用線面角的定義找出線面角，利用定義即可求解
解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)棱長=2；
則O（0，0，0），B（，O，0），D（-，0，0），A（0，-，0），C（0，，0），P（0，0，），E（0，，）．
∴=（0，2，0），=（2，0，0），=（-，，）
設(shè)截面BDE的法向量為=（x，y，z）；
由⇒⇒=（0，1，-1）；
∴cos＜，＞==；
∴＜，＞=45°．
故直線AC與截面BDE所成的角為90°-45°=45°．
故答案為：45°．
法二：過A做AM⊥平面BDE，垂足為 M，則∠AOM即為直線AC與平面BDE所成的角
設(shè)正四棱錐的楞長為2，則=，=2
∴V_E-ABD==
V_A-BDE==
∵V_A-BDE=V_E-ABD
∴AM=1
Rt△AMO中，sin∠AOM===
∴∠AOM=45°
故答案為：45°
點評：本題主要考察直線與平面所成的角．解決本題用到了空間向量，在用空間向量解決此類問題時，一定要先求平面的法向量，進而求出線面角．