Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右兩個焦點為F₁、F₂，離心率為

1

2

，又拋物線C₂：y²=4mx（m＞0）與橢圓C₁有公共焦點F₂（1，0）．
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的左焦點F₁且與拋物線交于不同兩點P、Q，且滿足

F1P

=λ

F1Q

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，確定幾何量，從而可求橢圓的方程，利用拋物線的焦點坐標(biāo)，可得拋物線方程；
（2）直線l的方程和拋物線方程聯(lián)立，利用直線和拋物線有兩個交點，確定k的范圍，利用向量知識，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，由k的范圍，可得實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）在橢圓中，c=1，e=

1

2

，所以a=2，b=

a2-c2

=

3

，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（2分）
拋物線中，

p

2

=1，所以p=2，故拋物線方程為y²=4x…（4分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）和拋物線方程聯(lián)立，得

y=k(x+1) y2=4x.

消去y，整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因為直線和拋物線有兩個交點，所以k≠0，（2k²-4）²-4k⁴＞0．
解得-1＜k＜1且k≠0…（6分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1…（8分）
又

F1P

=λ

F1Q

，所以

x1+1=λ(x2+1) y1=λy2.

又y²=4x，由此得4x₁=λ²4x₂，即x₁=λ²x₂．
由x₁x₂=1，解得x₁=λ，x₂=

1

λ

…（10分）
又x1+x2=

4-2k2

k2

=

4

k2

-2，所以λ+

1

λ

=

4

k2

-2．
又因為0＜k²＜1，所以λ+

1

λ

=

4

k2

-2＞2，
解得λ＞0且λ≠1…（14分）

點評：本題考查橢圓與拋物線的方程，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．