Question

設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)p，Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（2）求直線A₁P與A₂Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知，得到P的坐標(biāo)滿足的等式，又點(diǎn)P在雙曲線上得到p的坐標(biāo)滿足的另一個(gè)等式，解方程組求出p的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到T的坐標(biāo)．
（2）利用A₁，P，M三點(diǎn)共線，得：，由A₂，Q，M三點(diǎn)共線，，
從中得到，又P（x，y）在雙曲線上，
代入雙曲線方程求出軌跡方程．
解答：解：（1）由題意得，設(shè)P（x，y），Q（x，-y），
則．
由，
即x²-y²=3，①…（3分）
又P（x，y）在雙曲線上，則．②
聯(lián)立①、②，解得：x=±2，由題意，x＞0，
∴x=2，
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0）…（6分）
（2）設(shè)直線A₁P與A₂Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
由A₁，P，M三點(diǎn)共線，得：，①
由A₂，Q，M三點(diǎn)共線，得：，②
聯(lián)立①、②，解得：．…（9分）
∵P（x，y）在雙曲線上，
∴
∴軌跡E的方程為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學(xué)生對(duì)解析幾何學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用．