Question

圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為4．設(shè)AB=2x，BC=y，凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積的x倍成正比，且當(dāng)AB=1時(shí)凹槽的強(qiáng)度為

4-π

16

．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；
（2）求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由“其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為4”建立模型，再根據(jù)四邊形ABCD是矩形求得定義域．
（2）先求得橫斷面的面積，再由凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積的x倍成正比，且當(dāng)AB=1時(shí)凹槽的強(qiáng)度為

4-π

16

，建立模型，用導(dǎo)數(shù)法求得最值．

解答： 解：（1）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長(zhǎng)為πx．
所以4=2x+2y+πx，
得y=

4-(2+π)x

2

依題意知：0＜x＜y
得0＜x＜

4

4+π

所以，y=

4-(2+π)x

2

（0＜x＜

4

4+π

）．
（2）依題意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為T(mén)，橫截面的面積為S，凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積的x倍成正比的比例系數(shù)為k，
則有T=kxS=

3

x（2xy-

πx2

2

）=k[4x²-（2+

3π

2

）x³]
由已知當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=

4-π

16

，解得k=

1

3

所以T=

1

3

[4x²-（2+

3π

2

）x³]（0＜x＜

4

4+π

）．
所以T′=（2+

3π

2

）x[

4

3(2+ 3π 2 )

-x]
令T′=0得x=

16

3(4+3π)

，
x∈（0，

16

3(4+3π)

）時(shí)，T′＞0；x∈（

16

3(4+3π)

，

4

4+π

）時(shí)，T′＜0
所以，當(dāng)x=

16

3(4+3π)

時(shí)，T的最大值為

1024

81(4+3π)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)建模型和解模型的能力，主要涉及了平面圖形的周長(zhǎng)，面積及在實(shí)際問(wèn)題中模型的意義．