Question

設(shè)A、B是雙曲線x2－＝1上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1，2)是線段AB的中點(diǎn)． (1) 求直線AB的方程 (2) 如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓，為什么？

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：依題意，可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1，整理得 　　(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0　�、伲� 　　記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程①的兩個(gè)不同的根，所以2－k2≠0，且x1＋x2＝． 　　由N(1，2)是AB的中點(diǎn)得(x1＋x2)＝1， 　∴k(2－k)＝2－k2． 　　解得k＝1，所以直線AB的方程為y＝x＋1．

(2)

將k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0， 　　解得x1＝－1，x2＝3． 　　由y＝x＋1得y1＝0，y2＝4． 　　即A、B的坐標(biāo)分別為(－1，0)和(3，4)． 　　由CD垂直平分AB，得直線CD的方程為y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x． 　　代入雙曲線方程，整理得x2＋6x－11＝0．② 　　記C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x3、x4是方程②的兩個(gè)根，所以x3＋x4＝－6，x3x4＝－11． 　　從而x0＝(x3＋x4)＝－3，y0＝3－x0＝6． 　�。麮D｜＝ 　　　　　 ＝ 　　　　　 ＝＝4． 　　∴｜MC｜＝｜MD｜＝｜CD｜＝2， 　　又｜MA｜＝｜MB｜＝＝＝2． 　　即A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓．