Question

若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則下列命題：
（1）若數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{S_n}也是遞增數(shù)列；
（2）數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)；
（3）若{a_n}是等差數(shù)列（公差d≠0），則S₁•S₂…S_k=0的充要條件是a₁•a₂…a_k=0．
（4）若{a_n}是等比數(shù)列，則S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N）的充要條件是a_n+a_n+1=0．
其中，正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質，數(shù)列的前n項和的意義，通過舉反例可得（1）、（2）、（3）不正確．經(jīng)過檢驗，只有（4）正確，從而得出結論．
解答：解：數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，故 S_n =a₁+a₂+a₃+…+a_n，
若數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{S_n}不一定是遞增數(shù)列，如當a_n＜0 時，數(shù)列{S_n}是遞減數(shù)列，故（1）不正確．
由數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，不能推出數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，如數(shù)列：0，1，2，3，…，
滿足{S_n}是遞增數(shù)列，但不滿足數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，故（2）不正確．
若{a_n}是等差數(shù)列（公差d≠0），則由S₁•S₂…S_k=0不能推出a₁•a₂…a_k=0，例如數(shù)列：-3，-1，1，3，
滿足S₄=0，但 a₁•a₂•a₃•a₄≠0，故（3）不正確．
若{a_n}是等比數(shù)列，則由S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N）可得數(shù)列的{a_n}公比為-1，故有a_n+a_n+1=0．
由a_n+a_n+1=0可得數(shù)列的{a_n}公比為-1，可得S₁•S₂…S_k=0（k≥2，k∈N），故（4）正確．
故選B．
點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質，數(shù)列的前n項和的意義，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．