Question

設有兩個命題：
①“關于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集是R”；
②“函數(shù)f（x）=（2a²+a+1）^x是R上的減函數(shù)”． 若命題①和②中至少有一個是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)二次不等式恒成立的充要條件，可以求出命題①為真命題時，a的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性與底數(shù)的關系，可以求出命題②為真命題時，a的取值范圍，結合命題①和②中至少有一個是真命題可得a的取值范圍

解答：解：若命題①為真命題，則△x=(a-1)2-4a2＜0，…（2分）
解之得a＜-1或a＞

1

3

，…（5分）
若命題②為真命題，則0＜2a²+a+1＜1，…（7分）
解之得-

1

2

＜a＜0，…（10分）
所以至少有一個為真命題的a的取值范圍為a＜-1或-

1

2

＜a＜0或a＞

1

3

．…（14分）

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了二次不等式恒成立的充要條件及指數(shù)函數(shù)的單調性，是函數(shù)與不等式問題的綜合應用，難度中檔