Question

設(shè)ω=cos

π

5

+isin

π

5

，則以ω，ω³，ω⁷，ω⁹為根的方程是（　　）

A．x⁴+x³+x²+x+1=0

B．x⁴-x³+x²-x+1=0

C．x⁴-x³-x²+x+1=0

D．x⁴+x³+x²-x-1=0

Answer 1

分析：根據(jù)題目給出的ω，可求得其5次方為1，所以ω=cos

π

5

+isin

π

5

是x⁵+1=0的一個虛根，而方程x⁵+1=（x+1）（x⁴-x³+x²-x+1）=0的另外四個根就是ω，ω³，ω⁷，ω⁹

解答：解：因為ω=cos

π

5

+isin

π

5

，所以ω⁵+1=(cos

π

5

+isin

π

5

)5+1=cosπ+isinπ+1=0，
所以ω=cos

π

5

+isin

π

5

是方程x⁵+1=0的一個根，
因為-1=cosπ+isinπ，
則-1的5次方根為coc

π+2kπ

5

+isin

π+2kπ

5

（k=0，1，2，3，4），
當(dāng)k=0時為ω，當(dāng)k=1時為ω³，當(dāng)k=3時為ω⁷，當(dāng)k=4時為ω⁹，
而x⁵+1=（x+1）（x⁴-x³+x²-x+1）=0，
故ω，ω³，ω⁷，ω⁹ 都是方程x⁴-x³+x²-x+1=0．
故選B．

點評：本題考查復(fù)數(shù)三角形式的混合運算，注意ω=cos

π

5

+isin

π

5

是x⁵+1=0的一個虛根，是基礎(chǔ)題．