Question

如圖，已知長方形ABCD中，AB＝2，A₁，B₁分別是AD，BC邊上的點(diǎn)，且AA₁=BB₁="1," E，F(xiàn)分別為B₁D與AB的中點(diǎn). 把長方形ABCD沿直線折成直角二面角，且.

（1）求證：

（2）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)題意，由于AA₁⊥A₁B₁，同時(shí)FG//AA₁，故FG⊥A₁B₁ ,那么結(jié)合A₁B₁⊥面EFG，可得A₁B₁⊥EF

得到結(jié)論。

（2）

【解析】

試題分析：解：（I）證明：因?yàn)锳A₁=BB₁="1," 且AA₁//BB₁，所以四邊形ABB₁A₁為矩形，故AA₁⊥A₁B₁，

取A₁B₁的中點(diǎn)G，邊接EG，F(xiàn)G，因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF//A₁G，且AF＝A₁G，可得四邊形AFGA₁是平行四邊形，所以FG//AA₁，故FG⊥A₁B₁ ,同理可得EG⊥A₁B₁,所以A₁B₁⊥面EFG，可得A₁B₁⊥EF. 因?yàn)镃D//A₁B₁，所以CD⊥EF.  （6分）

（II）因?yàn)椤螦₁B₁D=30°，所以，

可得，因?yàn)槎�面角A－A₁B₁－D為直二面角，由（I）可知FG⊥面A₁B₁E, 所以  （12分）

考點(diǎn)：三棱錐的體積以及線線垂直

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了線線垂直以及三棱錐體積的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。